Black Scholes Method Stock Options

O Black and Scholes Model. O modelo de precificação de opções Black e Scholes não apareceu da noite para o dia, de fato, Fisher Black começou a trabalhar para criar um modelo de avaliação para warrants de ações Este trabalho envolveu o cálculo de um derivativo para medir como a taxa de desconto de um warrant varia Logo após esta descoberta, Myron Scholes se juntou ao Black e o resultado de seu trabalho é um modelo de precificação de opções surpreendentemente preciso Black e Scholes não podem tomar Todo o crédito para seu trabalho, de facto seu modelo é realmente uma versão melhorada de um modelo precedente desenvolvido por A James Boness em sua dissertação do Ph D na universidade de Chicago Os aperfeiçoamentos pretos e de Scholes no modelo de Boness vêm na forma de uma prova que A taxa de juros livre de risco é o fator de desconto correto e com a ausência de premissas quanto às preferências de risco do investidor. Elf, dividimos-lo em duas partes A primeira parte, SN d1, deriva o benefício esperado de adquirir um stock outright Isso é encontrado multiplicando o preço das ações S pela mudança no prêmio de chamada em relação a uma mudança no preço das ações subjacentes N D1 A segunda parte do modelo, Ke-rt N d2, dá o valor presente de pagar o preço de exercício no dia de vencimento. O valor justo de mercado da opção de compra é então calculado tomando a diferença entre essas duas partes. Black e Scholes Model.1 O estoque não paga dividendos durante a vida da opção s. A maioria das empresas pagam dividendos aos seus acionistas, por isso isso pode parecer uma séria limitação para o modelo, considerando a observação de que rendimentos mais elevados dividendos provocar prémios de chamada mais baixos Uma maneira comum De ajustar o modelo para esta situação é subtrair o valor descontado de um dividendo futuro do preço das ações.2 termos de exercício europeu são utilizados. Termos de exercício europeus ditar que a opção só pode ser ex Exercitado na data de vencimento O prazo de exercício americano permite que a opção seja exercida a qualquer momento durante a vida da opção, tornando as opções americanas mais valiosas devido à sua maior flexibilidade Esta limitação não é uma grande preocupação porque poucas chamadas são exercidas antes da Últimos dias da sua vida Isto é verdade porque quando você exerce uma chamada cedo, você perde o valor de tempo restante na chamada e coletar o valor intrínseco Para o fim da vida de uma chamada, o valor de tempo restante é muito pequeno, mas O valor intrínseco é o mesmo.3 Os mercados são eficientes. Esta suposição sugere que as pessoas não podem prever consistentemente a direção do mercado ou um estoque individual O mercado opera continuamente com os preços das ações seguindo um processo contínuo Para entender o que é um processo contínuo, Você deve primeiro saber que um processo de Markov é aquele em que a observação no período de tempo t depende somente da observação precedente Um processo é simplesmente um Ma Rkov processo em tempo contínuo Se você fosse desenhar um processo contínuo que você faria isso sem escolher a caneta para cima a partir do pedaço de papel.4 Não comissões são cobradas. Por geral, os participantes do mercado têm de pagar uma comissão para comprar ou vender opções Mesmo andar Os comerciantes pagam algum tipo de taxa, mas geralmente é muito pequena As taxas que o pagamento do investidor individual s é mais substancial e muitas vezes pode distorcer a saída do modelo.5 As taxas de juros permanecem constantes e conhecidos. O modelo Black e Scholes usa o risco - Taxa livre para representar esta taxa constante e conhecida Na realidade, não existe tal coisa como a taxa livre de risco, mas a taxa de desconto em Letras do Tesouro do Governo dos EUA com 30 dias deixados até o vencimento é geralmente usado para representá-lo Durante períodos de interesse em rápida mudança , Estas taxas de 30 dias são muitas vezes sujeitas a alterações, violando assim uma das hipóteses do modelo.6 Os retornos são lognormally distribuídos. Esta hipótese sugere, os retornos sobre o estoque subjacente são normalmente A fórmula Black-Scholes também chamada de Black-Scholes-Merton foi o primeiro modelo amplamente utilizado para o preço das opções. Ele é usado para calcular o valor teórico do mercado europeu A fórmula, desenvolvida por três economistas Fischer Black, Myron Scholes e Robert Merton é talvez o mundo mais bem-sucedido, E foi introduzido em seu artigo de 1973, O preço das opções e passivos corporativos publicado no Journal of Political Economy Black faleceu dois anos antes de Scholes e Merton receberam o Prêmio Nobel de Economia de 1997 por seu trabalho em encontrar um Novo método para determinar o valor dos derivados, o Prêmio Nobel não é dado póstumo no entanto, o comitê do Nobel reconheceu o papel de Black no Bla Ck-Scholes model. The Black-Scholes modelo faz certas suposições. A opção é europeia e só pode ser exercida no expiration. No dividendos são pagos durante a vida da opção. A presença de mercados eficientes ou seja, os movimentos do mercado não pode ser previsto. Não há custos de transação na compra da opção. A taxa livre de risco ea volatilidade do subjacente são conhecidas e constantes. Que os retornos sobre o subjacente são normalmente distribuídos. Nota Embora o modelo original de Black-Scholes não tenha considerado os efeitos dos dividendos Pago durante a vida da opção, o modelo é freqüentemente adaptado para contabilizar os dividendos, determinando o valor da data ex-dividendo do estoque subjacente. Fórmula de Black-Scholes. A fórmula, mostrada na Figura 4, leva em consideração as seguintes variáveis. O preço subjacente atual. Options strike price. Time até a expiração, expressa como uma porcentagem de um ano. Implied volatility. Risk-free taxas de juros. Figura 4 A Black-Scholes fórmula de preços para opções de compra . O modelo é essencialmente dividido em duas partes a primeira parte, SN d1 multiplica o preço pela mudança no prêmio de chamada em relação a uma mudança no preço subjacente Esta parte da fórmula mostra o benefício esperado de comprar o subjacente outright O segundo Parte, N d2 Ke - rt fornece o valor atual de pagar o preço de exercício ao expirar lembrar, o modelo de Black-Scholes aplica-se a opções europeias que podem ser exercidas apenas no dia de validade O valor da opção é calculado tomando a diferença entre o Duas partes, como mostrado na equação. A matemática envolvida na fórmula é complicado e pode ser intimidante Felizmente, você don t necessidade de saber ou mesmo entender a matemática para usar Black-Scholes modelagem em suas próprias estratégias Como mencionado anteriormente, os comerciantes de opções Têm acesso a uma variedade de calculadoras de opções on-line, e muitas das plataformas atuais de trading possuem ferramentas robustas de análise de opções, incluindo indicadores e planilhas que executam Um exemplo de uma calculadora Black-Scholes on-line é mostrado na Figura 5 o usuário insere todas as cinco variáveis ​​preço de exercício, preço das ações, dias de tempo, volatilidade e taxa de juros livre de risco e cliques Get quote to display Resultados. Figura 5 Uma calculadora Black-Scholes on-line pode ser usada para obter valores para ambas as chamadas e coloca os usuários inserir os campos obrigatórios ea calculadora faz o resto Calculadora cortesia. ESOs Usando o Black-Scholes Modelpanies necessidade de usar um modelo de preços de opções A fim de avaliar o valor justo de suas opções de ações de empregados ESOs Aqui mostramos como as empresas produzem essas estimativas sob as regras em vigor a partir de abril de 2004. Uma Opção Tem um Valor Mínimo Quando concedido, um ESO típico tem valor de tempo, mas nenhum valor intrínseco Mas a opção vale mais do que nada Valor mínimo é o preço mínimo que alguém estaria disposto a pagar pela opção É o valor defendido por duas propostas de legislação da Enzi-Reid E Baker-Eshoo contas do Congresso É também o valor que as empresas privadas podem usar para valorizar suas subvenções. Se você usar zero como a entrada de volatilidade no modelo Black-Scholes, você obtém o valor mínimo As empresas privadas podem usar o valor mínimo porque eles A falta de um histórico de negociação, o que torna difícil medir a volatilidade Legisladores como o valor mínimo, porque remove a volatilidade - uma fonte de grande controvérsia - a partir da equação A comunidade de alta tecnologia, em particular, tenta minar o Black-Scholes, argumentando que a volatilidade é Não confiável Infelizmente, a remoção da volatilidade cria comparações injustas porque remove todo o risco Por exemplo, uma opção de 50 no estoque do Wal-Mart tem o mesmo valor mínimo que uma opção de 50 em um estoque de alta tecnologia. O valor mínimo pressupõe que o estoque deve crescer em pelo menos Menos a taxa sem risco, por exemplo, o rendimento do Tesouro a cinco ou 10 anos. Nós ilustramos a idéia abaixo, examinando uma opção de 30 com um prazo de 10 anos e uma taxa de 5 sem risco e sem divisão Nds. Você pode ver que o modelo de valor mínimo faz três coisas 1 cresce o estoque à taxa livre de risco para o termo completo, 2 assume um exercício e 3 descontos o ganho futuro para o valor presente com a mesma taxa livre de risco. Calculando o Valor Mínimo Se esperamos que uma ação atinja pelo menos um retorno sem risco sob o método de valor mínimo, os dividendos reduzem o valor da opção, uma vez que o detentor de opções renuncia aos dividendos. Taxa para o retorno total, mas alguns dos vazamentos de retorno para dividendos, a apreciação do preço esperado será menor O modelo reflete essa menor valorização, reduzindo o preço das ações. Nas duas exposições abaixo derivamos a fórmula de valor mínimo O primeiro mostra como Chegamos a um valor mínimo para uma ação que não paga dividendos, a segunda substitui um preço de ação reduzido na mesma equação para refletir o efeito redutor dos dividendos. Aqui está a fórmula de valor mínimo para um preço de ações com preço de dividendo pago por ações Euler s contras Tant 2 718 d rendimento de dividendos t opção termo k exercício preço de exercício r taxa de risco-não Não se preocupe com a constante e 2 718 é apenas uma maneira de composto e desconto continuamente em vez de composição em intervalos anuais. Black-Scholes Valor mínimo Volatilidade Podemos entender que o Black-Scholes é igual ao valor mínimo da opção s mais o valor adicional para a volatilidade da opção quanto maior a volatilidade, maior o valor adicional Graficamente, podemos ver o valor mínimo como uma função ascendente-inclinada da opção A volatilidade é um plus-up na linha de valor mínimo. Aqueles que estão inclinados matematicamente podem preferir entender o Black-Scholes como tendo a fórmula de valor mínimo que já analisamos e adicionando dois fatores de volatilidade N1 e N2 juntos, Valor de acordo com o grau de volatilidade. Black-Scholes deve ser ajustado para ESO Black-Scholes estima o valor justo de uma opção É um modelo teórico que faz várias suposições, em Incluindo a capacidade de negociação total da opção, ou seja, até que ponto a opção pode ser exercida ou vendida à vontade do detentor de opções e uma volatilidade constante ao longo da vida da opção. Se as suposições estiverem corretas, o modelo é uma prova matemática Por exemplo, ele exige que os preços das ações se movam em um caminho chamado movimento browniano - uma caminhada aleatória fascinante que é realmente observada em partículas microscópicas Muitos estudos disputam que As ações movem-se apenas desta maneira. Outros acham que o movimento browniano se aproxima o suficiente e consideram o Black-Scholes uma estimativa imprecisa, mas utilizável. Para opções de curto prazo negociadas, o Black-Scholes tem sido extremamente bem sucedido em muitos testes empíricos que Os preços de mercado Existem três diferenças fundamentais entre os OEN e as opções transaccionadas a curto prazo, resumidas na tabela abaixo. Tecnicamente, cada uma destas diferenças Isso incluiu dois ajustes ou correções para a produção natural do modelo, mas a terceira diferença - que a volatilidade não pode manter constante ao longo da vida excepcionalmente longa de um ESO - foi Não tratadas Aqui estão as três diferenças e as correções de avaliação propostas propostas no FAS 123 que ainda estão em vigor a partir de março de 2004. A correção mais significativa sob as regras atuais é que as empresas podem usar a vida esperada no modelo em vez do termo real É típico para uma empresa usar uma vida esperada de quatro a seis anos para valorizar opções com 10 anos de prazo. Esta é uma dificuldade - uma ajuda, realmente - uma vez que Black-Scholes exige o termo real Mas a FASB estava procurando um Quase-objetivo para reduzir o valor do ESO, uma vez que não é negociado que é, para descontar o valor do ESO para a sua falta de liquidez. Conclusão - Efeitos Práticos O Black-Scholes é sensível a várias variáveis, mas se assu Me uma opção de 10 anos em uma ação de 1 dividendo e uma taxa de risco-menos de 5, o valor mínimo assume nenhuma volatilidade nos dá 30 do preço das ações Se adicionarmos a volatilidade esperada de, digamos, 50, o valor da opção aproximadamente Dobra para quase 60 do preço das ações. Então, para esta opção particular, Black-Scholes nos dá 60 do preço das ações Mas quando aplicada a um ESO, uma empresa pode reduzir o real prazo de 10 anos de entrada para uma vida mais curta esperada Para o exemplo Acima, reduzindo o prazo de 10 anos a uma vida esperada de cinco anos traz o valor para baixo a aproximadamente 45 do valor facial e uma redução de pelo menos 10-20 é típico ao reduzir o termo à vida esperada Finalmente, a companhia começa a Tomar uma redução do corte de cabelo na antecipação dos confiscos devido ao turnover do empregado A este respeito, um corte de cabelo adicional de 5-15 seria comum Assim, em nosso exemplo, os 45 seriam mais reduzidos a uma carga de despesa de aproximadamente 30-40 do preço conservado em estoque Depois de adicionar volatilidade e depois subtrair para um prazo de vida esperada reduzido e Esperado, estamos quase de volta ao valor mínimo.